Figure 1.1. J.-B. Joseph Fourier (1768- 1830), mathématicien et physicien français. J. Fourier
est connu pour avoir déterminé, par le calcul, la diffusion de la chaleur en utilisant la décomposi
tion d’une fonction quelconque en une série trigonométrique convergente i.e. les séries de Fourier.
La méthode de calcul permettant de passer, de façon réversible, d’une fonction à la série tri
gonométrique correspondante est la transformation de Fourier. Cette méthode très féconde est
devenue incontournable en théorie du signal, imagerie numérique, compression de données, dans
l’exploitation des systèmes 3G, 4G. Extrait de Wikipedia.
Les séries de Fourier constituent un outil fondamental pour étudier les phénomènes, fonctions pério
diques. En ingénierie elles sont utiles dans la décomposition de signaux périodiques tels que des courants
électriques, des ondes cérébrales, des ondes sonores, des images etc.
Considérons un signal basique : la vibration d’un diapason. Quand le diapason vibre, il fait vibrer les
molécules d’air. En un point x et au temps t, la variation pression de l’air p produite par le diapason
(p caractérise l’onde sonore) est une onde sinusoidale pure de pulsation ω = 2πv/λ et de vecteur d’onde
k =2π/λ; v la célérité de l’onde et λ sa longueur d’onde. On a alors : p(x,t) = Acos(kx − ωt).
Si l’on émet simultanément plusieurs sons de fréquences différentes, la pression résultante n’est pas
une simple fonction sinusoïdale mais une somme de plusieurs fonctions sinusoïdales. De même, si l’on
joue une note de piano, on n’obtient pas une onde sonore de fréquence unique mais un son fondamental
accompagné d’autres sons (les harmoniques) de fréquences égales à n fois celle du son fondamental, n
nombre entier. Si sin(ωt) et cos(ωt) correspondent à la fréquence fondamentale, sin(nωt) et cos(nωt)
correspondent aux harmoniques.
a combinaison du fondamental et des harmoniques est alors une fonction potentiellement compliquée
mais périodique de période celle du fondamental.
En fait un signal de “forme” quelconque mais périodique de fréquence f peut être obtenu en ajoutant :
une sinusoïde de fréquence f (appelée fondamentale) et des sinusoïdes dont les fréquences sont des
multiples entiers de f (ces sinusoides ayant des amplitudes et des phases appropriées). En général, il est
nécessaire pour cela d’écrire toutes les harmoniques c’est-à-dire une somme infinie de termes i.e. une
série. Cette série est appelée série de Fourier.
Etudier une fonction périodique F à l’aide des séries de Fourier consiste généralement à : a) décom
poser F en ses différents harmoniques i.e. déterminer les coefficients de sa série de Fourier; b) retrouver
F à partir de ses coefficients de Fourier.
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