L’analyse a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C’est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d’une suite ou la limite d’une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l’intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces métriques ou topologiques.
En un sens très restrictif, l’analyse est la partie des mathématiques s’intéressant aux questions de régularité des applications d’une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d’analyse réelle ou d’analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s’y apparentent, et un certain nombre de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
Suites numériques et limites
Une suite en mathématiques est une famille d’éléments — appelés ses « termes » — indexée par les entiers naturels.
Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.
Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d’un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l’analyse (une suite numérique est l’équivalent discret d’une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul.
Fonctions
En mathématiques, une fonction est définie comme une relation entre deux ensembles, où chaque élément du premier ensemble (le domaine) est associé à exactement un élément du deuxième ensemble (l’image).
Soit f une fonction telle que f : A → B, où A et B sont deux ensembles.
Pour tout X appartenant à A, il existe un unique Y appartenant à B tel que f (x) = y.
Calculs polynomiales
A définir
Dérivées
La dérivée en mathématique d’une fonction d’une variable réelle mesure l’ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d’entrée).
Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal.
Par exemple, la dérivée par rapport au temps de la position d’un objet en mouvement est la vitesse (instantanée) de l’objet.
Développements limités
A définir
Primitives
La primitive d’une fonction f est une fonction F qui a pour dérivée f . Les primitives servent à calculer des intégrales (chapitre suivant).
Intégrales
Les intégrales ont été inventées pour calculer les aires de figures non usuelles.
En effet, l’intégrale d’une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l’aire de la partie du plan. Aire délimitée horizontalement par les droites verticales d’équations x = a et x = b et verticalement par l’axe des abscisses et la courbe de f .
SI nous parvenons à calculer des intégrales de fonctions, nous pourrons donc calculer des aires exactes de figures délimitées par des courbes.
Équations différentielles
A définir.