Analyse – Cours et exercices du parcours Bac :
Faites votre choix :
Référence : programme parcours bac mathématiques
La discipline
L’analyse a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C’est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d’une suite ou la limite d’une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l’intégration. Ces notions sont étudiées dans le contexte des nombres réels ou des nombres complexes. Cependant, elles peuvent aussi être définies et étudiées dans le contexte plus général des espaces métriques ou topologiques.
La régularité des applications d’une variable
En un sens très restrictif, l’analyse est la partie des mathématiques s’intéressant aux questions de régularité des applications d’une variable réelle ou complexe : on parle alors plus volontiers d’analyse réelle ou d’analyse complexe. En un sens élargi, elle englobe toutes les méthodes mathématiques qui s’y apparentent, et une multitude de méthodes pour comprendre et analyser les espaces de fonctions.
Suites numériques et limites
Le cours présente les notions fondamentales sur les limites de suites :
– La suite \( u_{n}\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle de la forme \(\left[A;+\infty \right[ \) contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang. Cas des suites croissantes non majorées. Suite tendant vers \(-\infty\).– La suite \(u_{n}\) converge vers le nombre réel \(l\) si tout intervalle ouvert contenant \(l\) contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
– Limites et comparaison. Théorèmes des gendarmes.
– Opérations sur les limites.
– Comportement d’une suite géométrique \((q^{n})\) où \(q\) est un nombre réel.
– Théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée)converge.
Les opérations sur les limites sont admises. L’utilisation de la composition des limites se fait en contexte.
– Limite finie ou infinie d’une fonction en \(+\infty\), en \(-\infty\), en un point. Asymptote parallèle à un axe de coordonnées.– Limites faisant intervenir les fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle.
– Limites et comparaison.
– Opérations sur les limites.
Limites de suites : Cours PDF || Exercices PDF
La dérivation
– Composée de deux fonctions, notation \(v \circ u\). Relation \((v \circ u)’=(v’ \circ u)*u’\) pour la dérivée de la composée de deux fonctions dérivables.– Dérivée seconde d’une fonction.
– Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes. Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de \(f’\), la positivité de \(f^{(2)}\).
– Point d’inflexion.
Dérivées : Cours PDF || Exercices PDF
Les fonctions usuelles
La justification de la continuité ou de la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un objectif du programme. Hormis pour la fonction exponentielle, l’étude de la réciproque d’une fonction continue n’est pas au programme.
– Fonction continue en un point (définition par les limites), sur un intervalle. Toute fonction dérivable est continue.– Image d’une suite convergente par une fonction continue.
– Théorème des valeurs intermédiaires. Cas des fonctions continues strictement monotones.
– Fonction logarithme népérien, notée \(ln\), construite comme réciproque de la fonction exponentielle. – Propriétés algébriques du logarithme.
– Fonction dérivée du logarithme, variations.
– Limites en \(0\) et en \(+\infty\), courbe représentative. Lien entre les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.
– Croissance comparée du logarithme népérien et de \(x \mapsto x^{n}\) en \(0\) et en \(+\infty\).
Fonctions : Cours PDF || Exercices PDF Ce cours comprend les fonctions usuelles, log, exponentielle […].
Primitives, équations différentielles
Cette section introduit la notion d’équation différentielle sur des cas simples. On découvre en situation le concept d’équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation y’ = ƒ est l’occasion de définir la notion de primitive. Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées. Il est utile d’admettre ici que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, résultat démontré dans la section sur le calcul intégral. On note aussi que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite.
L’équation y’ = ay + b est l’occasion de réinvestir les propriétés de la fonction exponentielle.
Lorsque b = 0, on remarque que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore des solutions.
Pour travailler le concept d’équation différentielle, on peut donner d’autres exemples d’équations différentielles, dont on peut proposer des solutions sans en faire de résolution complète : y’ = y², y’’ + w2y = 0. Aucune connaissance n’est exigible sur ces exemples.
– Équation différentielle \(y’=f\). Notion de primitive d’une fonction continue sur un intervalle. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
<a href= »https://maths.wp-cms76.fr/Math-analyse/Equations%20différentielles.pdf#page=1″ target= »_blank »style= »color:#0002E1; » ><strong>A lire</strong> </a> <BR>
– Primitives des fonctions de référence : \(x \mapsto x^{n}\) pour \(n \in \mathcal{Z}\) \(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}\), exponentielle, sinus, cosinus.
<a href= »https://maths.wp-cms76.fr/Math-analyse/Primitives-Fiche-Synthese.pdf#page=1″ target= »_blank »style= »color:#0002E1; » ><strong>A lire</strong> </a> <BR>
– Équation différentielle \(y’=ay\), où \(a\) est un nombre réel ; allure des courbes.
Équation différentielle : \(y’=ay+b\).
Primitives : Cours PDF || Exercices PDF Équations différentielles : Cours PDF
Calcul intégral
– Définition de l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un segment \(\left[ a;b \right] \), comme aire sous la courbe représentative de \(f\). Notation : \(\int_{a}^{b} f(x).dx\)
-Théorème : si \(f\) est une fonction continue positive sur \(\left[ a;b \right] \), alors la fonction \(F_{a}\) définie sur \(\left[ a;b \right] \) par \(F(x)=\int_{a}^{x} f(x).dx\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\)
– Sous les hypothèses du théorème, relation \(\int_{a}^{b} f(x).dx=F(b)-F(a)\) ou \(F\) est une primitive quelconque de \(f\)
Notation \(\left[ F(x)\right]_{a}^{b}\)
– Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
– Définition par les primitives de \(\int_{a}^{b} f(x).dx\) lorsque \(f\) est une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\)
– Linéarité, positivité et intégration des inégalités. Relation de Chasles.
– Valeur moyenne d’une fonction.
– Intégration par parties.
Intégrales : Cours PDF || Exercices PDF