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Algèbre et géométrie
Rappels des fondamentaux
Combinatoire et dénombrement
– Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien. Nombre de k-uplets (ou k-listes) d’un ensemble à n éléments.
– Nombre des parties d’un ensemble à n éléments. Lien avec les n-uplets de {0,1}, les mots de longueur n sur un alphabet à deux éléments, les chemins dans un arbre, les issues dans une succession de n épreuves de Bernoulli.
– Nombre des k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments. Définition de n! Nombre de permutations d’un ensemble fini à n éléments.
– Combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments : parties à k éléments de l’ensemble. Représentation en termes de mots ou de chemins.
Pour \( 0 \leqslant k \leqslant n \), formules \( \complement_{n}^{k}=\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{K!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)
– Explicitation pour k = 0, 1, 2. Symétrie. Relation et triangle de Pascal.
Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace
Cette section introduit d’emblée le calcul vectoriel dans l’espace, avec les notions qui l’accompagnent : translations, combinaisons linéaires de vecteurs, indépendance linéaire, directions de droite et de plans.
– Vecteurs de l’espace. Translations.– Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace.
– Droites de l’espace. Vecteurs directeurs d’une droite. Vecteurs colinéaires.
– Caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur.
– Plans de l’espace. Direction d’un plan de l’espace.
– Caractérisation d’un plan de l’espace par un point et un couple de vecteurs non colinéaires.
– Bases et repères de l’espace. Décomposition d’un vecteur sur une base. A lire
Orthogonalité et distances dans l’espace
L’extension à l’espace du produit scalaire de deux vecteurs donne un outil efficace pour les problèmes de distance et d’orthogonalité.
– Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Bilinéarité, symétrie.– Orthogonalité de deux vecteurs. Caractérisation par le produit scalaire.
– Base orthonormée, repère orthonormé.
– Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée. Expressions du produit scalaire et de la norme. Expression de la distance entre deux points.
– Développement de \(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^{2}\), formules de polarisation.
– Orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite.
– Vecteur normal à un plan. Avec un point A et un vecteur non nul \(\overrightarrow{n}\), plan passant par A et normal à \(\overrightarrow{n}\).
– Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan. A lire
Représentations paramétriques et équations cartésiennes
L’objectif de cette section est de montrer comment la donnée d’un repère, qu’on supposera
orthonormé, permet d’établir un lien entre la géométrie de l’espace et les calculs algébriques
dans ℝ3.
– Équation cartésienne d’un plan. A lire
Analyse
Rappels des fondamentaux
Suites
Le cours présente les notions fondamentales sur les limites de suites :
– La suite \( u_{n}\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle de la forme \(\left[A;+\infty \right[ \) contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang. Cas des suites croissantes non majorées. Suite tendant vers \(-\infty\).– La suite \(u_{n}\) converge vers le nombre réel \(l\) si tout intervalle ouvert contenant \(l\) contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang.
– Limites et comparaison. Théorèmes des gendarmes.
– Opérations sur les limites.
– Comportement d’une suite géométrique \((q^{n})\) où \(q\) est un nombre réel.
– Théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée)converge. A lire
Limites des fonctions
Les opérations sur les limites sont admises. L’utilisation de la composition des limites se fait en contexte.
– Limite finie ou infinie d’une fonction en \(+\infty\), en \(-\infty\), en un point. Asymptote parallèle à un axe de coordonnées.– Limites faisant intervenir les fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle.
– Limites et comparaison.
– Opérations sur les limites. A lire
Compléments sur la dérivation
L’étude de la dérivation, commencée en classe de première, est étendue par l’étude de la dérivée d’une fonction composée et l’introduction de la dérivée seconde.
L’étude des fonctions convexes permet de réinvestir et d’enrichir le travail entamé en classe de première sur les dérivées. Elles donnent l’occasion de raisonner en diversifiant les registres : représentations graphiques, tableaux de variations, expressions symboliques.
– Dérivée seconde d’une fonction.
– Fonction convexe sur un intervalle : définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes. Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de \(f’\), la positivité de \(f^{(2)}\).
– Point d’inflexion. A lire
Continuité des fonctions d’une variable réelle
La justification de la continuité ou de la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un objectif du programme. Hormis pour la fonction exponentielle, l’étude de la réciproque d’une fonction continue n’est pas au programme.
– Fonction continue en un point (définition par les limites), sur un intervalle. Toute fonction dérivable est continue.– Image d’une suite convergente par une fonction continue.
– Théorème des valeurs intermédiaires. Cas des fonctions continues strictement monotones.
A développer
Fonction logarithme
La fonction logarithme népérien est introduite comme fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en classe de première. Les élèves s’appuient sur les images mentales des courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme.
– Fonction logarithme népérien, notée \(ln\), construite comme réciproque de la fonction exponentielle. – Propriétés algébriques du logarithme.– Fonction dérivée du logarithme, variations.
– Limites en \(0\) et en \(+\infty\), courbe représentative. Lien entre les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.
– Croissance comparée du logarithme népérien et de \(x \mapsto x^{n}\) en \(0\) et en \(+\infty\). A lire
Fonctions sinus et cosinus
- Fonctions trigonométriques sinus et cosinus : dérivées, variations, courbes représentatives.
Primitives, équations différentielles
Cette section introduit la notion d’équation différentielle sur des cas simples. On découvre en situation le concept d’équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation y’ = ƒ est l’occasion de définir la notion de primitive. Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées. Il est utile d’admettre ici que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, résultat démontré dans la section sur le calcul intégral. On note aussi que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite.
L’équation y’ = ay + b est l’occasion de réinvestir les propriétés de la fonction exponentielle.
Lorsque b = 0, on remarque que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore des solutions.
Pour travailler le concept d’équation différentielle, on peut donner d’autres exemples d’équations différentielles, dont on peut proposer des solutions sans en faire de résolution complète : y’ = y², y’’ + w2y = 0. Aucune connaissance n’est exigible sur ces exemples.
– Primitives des fonctions de référence : \(x \mapsto x^{n}\) pour \(n \in \mathcal{Z}\) \(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}\), exponentielle, sinus, cosinus. A lire
– Équation différentielle \(y’=ay\), où \(a\) est un nombre réel ; allure des courbes. Équation différentielle : \(y’=ay+b\).
Calcul intégral
-Théorème : si \(f\) est une fonction continue positive sur \(\left[ a;b \right] \), alors la fonction \(F_{a}\) définie sur \(\left[ a;b \right] \) par \(F(x)=\int_{a}^{x} f(x).dx\) est la primitive de \(f\) qui s’annule en \(a\)
– Sous les hypothèses du théorème, relation \(\int_{a}^{b} f(x).dx=F(b)-F(a)\) ou \(F\) est une primitive quelconque de \(f\)
Notation \(\left[ F(x)\right]_{a}^{b}\)
– Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
– Définition par les primitives de \(\int_{a}^{b} f(x).dx\) lorsque \(f\) est une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle contenant \(a\) et \(b\)
– Linéarité, positivité et intégration des inégalités. Relation de Chasles.
– Valeur moyenne d’une fonction.
– Intégration par parties. A lire
Analyse : Cours, méthodes, exercices et annales.
Limites des fonctions: Cours || Exercices
Fonctions : Cours || Exercices Ce cours comprend les fonctions usuelles, log, exponentielle […].
Primitives : Cours||Exercices Équations différentielles : Cours || Exercices
Calculs polynomiaux
Calculs polynomiaux (hors programme) : Cours || Exercices
Développements limités
Développements limités (hors programme) : Cours || Exercices
Probabilités
Rappels des fondamentaux
Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
– Modèle de la succession d’épreuves indépendantes : la probabilité d’une issue \((X_{1},…,X_{n})\) est égale au produit des probabilités des composantes \(X_{i}\). Représentation par un produit cartésien, par un arbre.– Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
– Schéma de Bernoulli : répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes.
– Loi binomiale \(\beta(n,p)\) : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux.
Sommes de variables aléatoires
– Somme de deux variables aléatoires.Linéarité de l’espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X).– Dans le cadre de la succession d’épreuves indépendantes, exemples de variables indépendantes X,Y et relation d’additivité V(X + Y) = V(X) + V(Y). Relation \(V(aX)=a^{2}V(X)\).
– Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale.
– Échantillon de taille n d’une loi de probabilité : liste (X1,…,Xn) de variables indépendantes identiques suivant cette loi. Espérance, variance, écart type de la somme Sn = X1 + … + Xn et de la moyenne Mn = Sn /n.
Concentration, loi des grands nombres
– Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour une variable aléatoire \(X\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), et quel que soit le réel strictement positif \(\delta\) : \(P(|X-\mu| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^{2}}\).– Inégalité de concentration. Si \(M_{n}\) est la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille \(n\) d’une variable aléatoire d’espérance \(\mu\) de variance \(V\), alors pour tout \(\delta > 0\), \(P(|M_{n}-\mu| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(X)}{n\delta^{2}}\).
– Loi des grands nombres.
Algorithme de programmation
Les algorithmes peuvent être écrits en langage naturel ou utiliser le langage Python.
On utilise le symbole « ← » pour désigner l’affection dans un algorithme écrit en langage naturel. L’accent est mis sur la programmation modulaire qui permet de découper une tâche complexe en tâches plus simples.