Probabilités : Cours exercices parcours Bac :
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La discipline
Les probabilités sont la branche des mathématiques qui calcule la probabilité d’un événement, c’est-à-dire la fréquence d’un événement par rapport à l’ensemble des cas possibles.
Cette branche des mathématiques est née des jeux du hasard, plus précisément du désir de prévoir l’imprévisible ou de quantifier l’incertain. Il faut avant tout préciser ce qu’elle n’est pas : elle ne permet pas de prédire le résultat d’une unique expérience.
Probabilités
Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli
– Modèle de la succession d’épreuves indépendantes : la probabilité d’une issue \((X_{1},…,X_{n})\) est égale au produit des probabilités des composantes \(X_{i}\). Représentation par un produit cartésien, par un arbre.– Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.
– Schéma de Bernoulli : répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes.
– Loi binomiale \(\beta(n,p)\) : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux.
Sommes de variables aléatoires
– Somme de deux variables aléatoires.Linéarité de l’espérance : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X).– Dans le cadre de la succession d’épreuves indépendantes, exemples de variables indépendantes X,Y et relation d’additivité V(X + Y) = V(X) + V(Y). Relation \(V(aX)=a^{2}V(X)\).
– Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale.
– Échantillon de taille n d’une loi de probabilité : liste (X1,…,Xn) de variables indépendantes identiques suivant cette loi. Espérance, variance, écart type de la somme Sn = X1 + … + Xn et de la moyenne Mn = Sn /n.
Concentration, loi des grands nombres
– Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Pour une variable aléatoire \(X\) d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\), et quel que soit le réel strictement positif \(\delta\) : \(P(|X-\mu| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^{2}}\).– Inégalité de concentration. Si \(M_{n}\) est la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille \(n\) d’une variable aléatoire d’espérance \(\mu\) de variance \(V\), alors pour tout \(\delta > 0\), \(P(|M_{n}-\mu| \geqslant \delta) \leqslant \frac{V(X)}{n\delta^{2}}\).
– Loi des grands nombres.
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Statistiques (hors programme)
Statistiques descriptives
Les statistiques descriptives servent à organiser, résumer et présenter un ensemble de données.
Elles utilisent notamment les effectifs, les fréquences, les moyennes, médianes et indicateurs de dispersion.
Les tableaux, histogrammes et diagrammes permettent de voir la répartition des valeurs.
Elles constituent une première étape essentielle avant toute interprétation ou analyse probabiliste.
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Statistiques inférentielles
Les statistiques inférentielles permettent de tirer des conséquences sur une population à partir d’un échantillon.
Par ailleurs, elles utilisent spécifiquement l’estimation, les intervalles de confiance et les tests d’hypothèses.
De plus, elles aident à évaluer l’incertitude associée aux résultats observés.
Elles servent à généraliser les données recueillies et à prendre des décisions fondées sur des probabilités.
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